Question

【題目】如圖，已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M為PB的中點．

（Ⅰ）求證：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又因為∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．
（Ⅱ）取AB中點O，連結MO、過O作HO⊥AC于H，連結MH，因為M是PB的中點，所以MO∥PA，
又因為PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO為二面角M﹣AC﹣B的平面角．
設AC=2，則BC=2 ，MO=1，OH= ，
在Rt△MHO中，tan∠MHO= ．
二面角M﹣AC﹣B的大小為300 ．

【解析】（Ⅰ）通過證明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中點O，連結MO、過O作HO⊥AC于H，連結MH，因為M是PB的中點，∠MHO為二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．