Question

【題目】已知點，，橢圓C：（）的離心率為，過點且斜率為1的直線被橢圓C截得的線段長為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線不經過點，且與C相交于A，B兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）聯立直線的方程和橢圓方程，由弦長公式，結合橢圓的離心率即可求得橢圓方程；

（2）設出直線的方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，結合直線與直線的斜率的和為，即可容易證明.

（1）由題意知，，則，

于是橢圓C的方程可化為，

直線的方程為，

聯立得.

設，為兩交點，

則，， 由得（*）

再由弦長公式得，

解得代入（*）成立，從而，

所以橢圓C的方程為.

（2）設直線與的斜率分別為，，

如果與x軸垂直，設：，

由題設知且，

可得A，B坐標分別為，，

則，得，

此時的方程為，與橢圓只有一個公共點，與題意不符.

從而可設：（）

將代入

得.

由題設可知，

設，則，

而

，

由題設知得，

即，

解得，代入，得，

此時，

所以過定點.