Question

（1）曲線C：y=ax³+bx²+cx+d在（0，1）點處的切線為l₁：y=x+1在（3，4）點處的切線為l₂：y=-2x+10，求曲線C的方程；
（2）求曲線S：y=2x-x³的過點A（1，1）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導數，根據y=f（x）在點（x₁，f（x₁））處的切線的斜率等于在該點的導數值可得答案；
（2）過這一點的切線和在這點的切線要區分開來，應先設出切點坐標．

解答：解：（1）已知兩點均在曲線C上．∴

d=1 27a+9b+3c+d=4

∵y′=3ax²+2bx+cf′（0）=cf′（3）=27a+6b+c
∴

c=1 27a+6b+c=-2

，可求出d=1，c=1，a=-

1

3

，b=1
∴曲線C：y=-

1

3

x3+x2+x+1
（2）設切點為P（x₀，2x₀-x₀³），則斜率k=f′（x₀）=2-3x₀²，
過切點的切線方程為：y-2x₀+x₀³=（2-3x₀²）（x-x₀）
∵過點A（1，1），
∴1-2x₀+x₀³=（2-3x₀²）（1-x₀）
解得：x₀=1或x0=-

1

2

，
當x₀=1時，切點為（1，1），切線方程為：x+y-2=0
當x0=-

1

2

時，切點為(-

1

2

，-

7

8

)，切線方程為：5x-4y-1=0

點評：本題是對導數幾何意義的深度考查．也是近兩年來高考在導數這部分的考查內容．