Question

給出下列四個函數：①y=x+sinx；②y=x²-cosx；③y=2^x-2^-x；④y=e^x+lnx，其中既是奇函數，又在區間（0，1）上單調的函數是

①③

．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

分析：由題意，可先由函數奇偶性的判斷規則找出四個函數的奇函數，再利用導數與函數單調性的判斷規則對是奇函數的函數的單調性進行判斷，找出符號題意的函數即可得到答案

解答：解：考察四個函數，：①y=x+sinx與；③y=2^x-2^-x；這兩個函數是奇函數，；②y=x²-cosx；是偶函數，；④y=e^x+lnx的定義域不關于原點對稱是非奇非偶函數
由此可排除②④
對于函數①，y′=1+cosx≥0故是單調函數，符合題意
對于函數；③y=2^x-2^-x，由于函數2^x是增函數，函數2^-x是減函數，故y=2^x-2^-x是增函數，
綜上判斷知，既是奇函數，又在區間（0，1）上單調的函數是①③
故答案為①③

點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性及函數奇偶性的判斷方法，函數單調性的判斷方法，有一定的綜合性，解題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性與單調性的判斷方法，且能根據題設條件靈活選用判斷的手段．本題考查了推理誰的能力及觀察判斷的能力，屬于函數單調性與奇偶性綜合運用的常見題型．