Question

已知a為實數，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求導數f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）按導數的求導法則求解
（2）由f′（-1）=0代入可得f（x），先求導數，研究函數的極值點，通過比較極值點與端點的大小從而確定出最值
（3）（法一）由題意可得f′（2）≥0，f′（-2）≥0聯立可得a的范圍
    （法二）求出f′（x），再求單調區增間（-∞，x_1）和[x₂，+∞），依題意有（-∞，-2）⊆（-∞，x_1）[2，+∞]⊆[x₂，+∞）

解答：解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0得a=

1

2

，此時有f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)，f′(x)=3x2-x-4．
由f'（x）=0得x=

4

3

或x=-1，又f(

4

3

)=-

50

27

，f(-1)=

9

2

，f(-2)=0，f(2)=0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值為

9

2

，最小值為-

50

27

．
（3）解法一：f'（x）=3x²-2ax-4的圖象為開口向上且過點（0，-4）的拋物線，由條件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范圍為[-2，2]．
解法二：令f'（x）=0即3x²-2ax-4=0，由求根公式得：x1，2=

a± a2+12

3

(x1＜x2)
所以f'（x）=3x²-2ax-4．在（-∞，x₁]和[x₂，+∞）上非負．
由題意可知，當x≤-2或x≥2時，f'（x）≥0，
從而x₁≥-2，x₂≤2，
即

a2+12 ≤6-a a2+12 ≤a+6

解不等式組得-2≤a≤2．
∴a的取值范圍是[-2，2]．

點評：本題考查了導數的求解，利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在
（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．利用導數求單調區間要區分“單調區間”和“在區間上單調遞增”兩個不同概念．