Question

已知a為實數，f（x）=x³-ax²-4x+4a，
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用導數的運算即可求出f′（x）；
（2）先由f′(-1)=0得a=

1

2

，代入原函數并求出其導函數，利用導函數和函數單調性的關系可得函數在[-2，2]上的單調性，進而求得在[-2，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）因為f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=[x³-ax²-4x+4a]’
=3x²-2ax-4
（2）由f′(-1)=0得a=

1

2

．
所以f(x)=x3-

1

2

x2-4x+2，f′(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4)
令f′(x)=0得x1=-1，x2=

4

3

由f'（x）=（x+1）（3x-4）＞0得x＜-1或x＞

4

3

；
由f'（x）=（x+1）（3x-4）＜0得-1＜x＜

4

3

．
所以，函數f（x）在[-2，-1]上遞增，在[-1，

4

3

]上遞減，在[

4

3

，2]上遞增．
綜上，f（x）在[-2，2]上的最大值為f(-1)=

9

2

，最小值為f(

4

3

)=-

50

27

．

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及導數的運算，是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題．