Question

過點P（1，4）作直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時，求此直線方程．

Answer 1

分析：設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）．把點P（1，4）代入可得

1

a

+

4

b

=1．于是a+b=(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

，利用基本不等式即可得出．

解答：解：設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）．
把點P（1，4）代入可得

1

a

+

4

b

=1．
∴a+b=(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=6時取等號，
a+b的最小值為9，此時直線的方程為

x

3

+

y

6

=1．

點評：本題綜合考查了直線的截距式方程、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．