Question

求與雙曲線

x2

2

-y2=1有兩個公共焦點，且過點P(

3

，2)的圓錐曲線的方程．

Answer 1

分析：先通過雙曲線

x2

2

-y2=1方程求出圓錐曲線兩個焦點，再分橢圓與雙曲線兩中情況分別求解．

解答：解：雙曲線

x2

2

-y2=1的焦點F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
（1）設圓錐曲線為橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
則

a2-b2=3(焦距為2 3 ) 3 a2 + 4 b2 =1(過點P( 3 ，2))

⇒

a2=9 b2=6

橢圓方程為：

x2

9

+

y2

6

=1
（2）設圓錐曲線為雙曲線

x2

p2

-

y2

q2

=1（p＞0，q＞0）
則

p2+q2=3(焦距為2 3 ) 3 p2 - 4 q2 =1(過點P( 3 ，2))

⇒

p2=1 q2=2

雙曲線方程為：x2-

y2

2

=1

點評：本題考查圓錐曲線的標準方程，及簡單幾何性質．一般用待定系數法．