Question

設復數z滿足：（2-

3

+i）z在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項，求|z|．

Answer 1

分析：設z=x+yi（x，y∈R），利用復數的運算和幾何意義可得x與y的關系，再根據等比數列的定義、和復數的模運算性質即可得出．

解答：解：設z=x+yi（x，y∈R），
（2-

3

+i）z=（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]i，
該復數對應的點在第二、四象限的角平分線上，
（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]=0
∴y=

3

x．                                                                 
∴z=x+

3

x i（x，∈R），
∵|z-1|²=|z|•|z-2|，|z|²=z

.

z

∴（z-1）（

.

z

-1）=|z|

(z-2)( . z -2)

|z|²-（z+

.

z

）+1=|z|

|z|2-2(z+ . z )+4

2|z|²=（1-2x）²
8x²=4x²-4x+1
x=

-1± 2

2

∴|z|=

2

-1．

點評：熟練掌握復數的運算和幾何意義、等比數列的定義、復數的模運算性質等是解題的關鍵．