Question

設定函數f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個根分別為1，4．
（Ⅰ）當a=3且曲線y=f（x）過原點時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）無極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先對函數f（x）進行求導，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有兩根1、4可得兩等式；
（1）將a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，進而確定函數解析式．
（2）f（x）在（-∞，+∞）無極值點即函數f（x）是單調函數，且可判斷是單調增函數，再由導函數大于等于0在R上恒成立可解．

解答：解：由得f′（x）=ax²+2bx+c
因為f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=0的兩個根分別為1，4，所以

a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

（*）
（Ⅰ）當a=3時，又由（*）式得

2b+c-6=0 8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因為曲線y=f（x）過原點，所以d=0
故f（x）=x³-3x²+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）內無極值點”等價于“f′（x）=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）內恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）²-4ac=9（a-1）（a-9）
解

a＞0 △=9(a-1)(a-9)≤0

得a∈[1，9]
即a的取值范圍[1，9]

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．屬基礎題．