Question

某射擊比賽的規則如下：
①每位選手最多射擊3次，每次射擊擊中目標，方可進行下一次射擊，否則停止；
②第l次射擊時，規定擊中目標得（4-i）分，否則得0分（i=1，2，3）．已知選手甲每次射擊擊中目標的概率均為0.8，且其各次射擊結果互不影響，
（I）求甲恰好射擊兩次就停止的概率；
（II）設選手甲停止射擊時的得分總數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，記“甲第i次擊中目標”為事件A_i，分析可得甲恰好射擊兩次就停止即事件A₁•

.

A2

，由相互獨立事件概率公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，分析可得ξ可取的值為0、3、5、6，分別計算ξ=0、3、5、6時的概率，進而由數學期望公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記“甲第i次擊中目標”為事件A_i，則有P（A_i）=0.8，P（

.

Ai

）=1-0.8=0.2，i=1、2、3；
根據題意，甲的各次射擊結果互不影響，即各次射擊為相互獨立事件，
則甲恰好射擊兩次就停止即事件A₁•

.

A2

，
則其概率P₁=P（A₁•

.

A2

）=0.8×0.2=0.16，
（Ⅱ）根據題意，ξ可取的值為0、3、5、6，
P（ξ=0）=P（

.

A1

）=1-0.8=0.2，
P（ξ=3）=P（A₁•

.

A2

）=0.16，
P（ξ=5）=P（A₁•A₂•

.

A3

）=0.8×0.8×0.2=0.128，
P（ξ=6）=P（A₁•A₂•A₃）=0.512，
則其數學期望為Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．

點評：本題考查相互獨立事件的概率計算與數學期望的計算，計算數學期望時因計算量較大，要注意牢記公式，并細心計算．