Question

中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點。若分別過橢圓的左右焦點、的動直線、相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；
（2）存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

試題分析：（1）設橢圓方程為，則由題意知，則
，則橢圓方程為，代入點的坐標可得
，所求橢圓方程為
（2）當直線或斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)．
當直線斜率存在時，設斜率分別為，，設，，
由得　，∴ ，．
，同理．∵， ∴，即．又，　∴．
設，則，即，
由當直線或斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點橢圓上，則存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．
點評：中檔題，結合橢圓的幾何性質，應用“待定系數法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現解題目的。（II）中對兩直線斜率存在情況進行討論，易于忽視。