Question

【題目】函數f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R).

（1）求函數f(x)的單調區間；

（2）若a=4，y=f(x)的圖象與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一見解析（2）(4ln2-8，-5).

【解析】

(1)先求函數的定義域，再求函數的導數，分類討論，確定與的關系，得到單調區間；

(2) 由a=4可根據(1) 中所確定函數的增減區間，求出函數的極小值和極大值即可得到答案.

（1）函數f(x)=x2-(a+2)x+alnx的定義域為（0，+∞），

①當a≤0時，)≤0在(0，1]上恒成立≥0在[1，+∞)上恒成立，

∴a≤0時，f(x)的增區間為[1，+∞)，f(x)的減區間為(0，1].

②當0<a<2時，≥0在和[1，+∞)上恒成立，≤0在

上恒成立.

∴0<a<2時，f(x)的增區間為和[1，+∞)，f(x)的減區間為

③當a=2時，≥0在(0，+∞)上恒成立，

∴a=2時，f(x)的增區間為(0，+∞).

④當a>2時，≥0在(0，1]和上恒成立，

≤0在上恒成立，

∴a>2時，f(x)的增區間為(0，1]和，f(x)的減區間為.

（2）若a=4，由（1）可得f(x)在(0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，在[2，+∞)上單調遞增.

f(x)極小值=f(2)=4ln2-8，f(x)極大值=f(1)=-5，

∴y=f(x)的圖象與直線y=m有三個交點時，m的取值范圍是(4ln2-8，-5).