Question

如圖，點P為斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N.

(1)求證：CC₁⊥MN.

(2)在任意△DEF中，有由余弦定理DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出一個斜三棱柱的三個側面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并加以證明．

Answer 1

證明：(1)∵CC₁∥BB₁⇒CC₁⊥PM.

又CC₁⊥PN，且PM、PN為平面PMN內兩相交的直線，

∴CC₁⊥平面PMN⇒CC₁⊥MN.

(2)在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所成的二面角．

∵CC₁⊥平面PMN，

∴上述的二面角為∠MNP.

在△PMN中，PM²＝PN²＋MN²－2PN·MN·cos∠MNP

⇒PM²·CC＝PN²·CC＋MN²·CC－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，