Question

如圖，點P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N.

(1)求證：CC₁⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明.

Answer 1

思路分析：考慮到三個側面的面積需要作出三個側面的高，由已知條件可得△PMN為三棱柱的直截面，選取三棱柱的直截面三角形作類比對象.

(1)證明：∵PM⊥BB₁,PN⊥BB₁,

∴BB₁⊥平面PMN.

∴BB₁⊥MN.

又CC₁∥BB₁，∴CC₁⊥MN.

(2)解析：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

cosα.

其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所成的二面角.

∵CC₁⊥平面PMN,

∴上述的二面角的平面角為∠MNP.

在△PMN中.PM²=PN²+MN²-2PN·MNcos∠MNP

PM²·CC₁²=PN²·CC₁²+MN²·CC₁²-2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，

由于=PN·CC₁，=MN·CC₁，=PM·BB₁=PM·CC₁，

∴有²=²+²-2··cosα.