Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）求曲線f（x）過點（1，0）的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3（x2﹣2），

令f'（x）=0，得 ，

∴當 或 時，f'（x）＞0；

當 時，f'（x）＜0，

∴f（x）的單調遞增區間是 和 ，

單調遞減區間是 ；

當x=﹣ ，f（x）有極大值5+4 ；當x= ，f（x）有極小值5﹣4

（2）解：設切點為（m，n），

則切線的斜率為3（m2﹣2），

切線的方程為y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），

代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），

化為（m﹣1）2（2m+1）=0，

解得m=1或m=﹣ ，

則斜率為﹣3或﹣ ，

可得切線的方程為y=﹣3x+3或y=﹣ x+

【解析】（1）求導f（x）導數，可得極值點，導數大于0可得增區間；導數小于0可得減區間；進而得到極值；（2）設切點為（m，n），可得切線的斜率，切線方程，代入（1，0），解方程可得切點，進而得到所求切線方程．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．