Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，四邊形與四邊形的面積之和為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求直線被以線段為直徑的圓截得的弦長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意求得a,b的值可得橢圓的方程為.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合題意和圓的弦長(zhǎng)公式可得直線被以線段為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為.

試題解析：

（1）四邊形的面積為：，

由橢圓的離心率為可得，結(jié)合可得，

，則，橢圓的方程為.

（2）由可得，

設(shè)點(diǎn)，則，

即,，

則，

由可得，即，

，即，

整理可得，即 ①

把①代入可得，該不等式恒成立.

以為直徑的圓的圓心為，半徑為.

圓心到直線的距離為，

則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為：.