Question

銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）求y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)的最大值，并求取得最大值時角B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入可求出cosA的值，由A為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用二倍角的余弦函數公式化簡函數解析式中的第一項，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡第二項，合并后再利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把函數解析式化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出y的最大值．

解答：解：（1）因為b²+c²-a²=bc，所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又因為A∈(0，

π

2

)，所以A=

π

3

；
（2）化簡得：y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)
=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=1+sin（2B-

π

6

），
∵0＜B＜

π

2

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴當2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，sin（2B-

π

6

）的最大值為1，
則y有最大值是2．

點評：此題考查了余弦定理，三角函數的恒等變形以及三角函數的最值，第二問的思路為：利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數，由三角函數的最值來求函數的最值．學生做題時注意角度的范圍．