Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=

7

，c=2，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后根據sinA不為0，求出sinB的值，由B為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由B的度數求出cosB的值，再由b與c的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，將三邊長代入求出cosA的值，然后利用平面向量的數量積運算法則化簡所求的式子后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由

3

a-2bsinA=0，
根據正弦定理得：

3

sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB=

3

2

，…（5分）
又B為銳角，
則B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=

π

3

，
∵b=

7

，c=2，
根據余弦定理得：7=a²+4-4acos

π

3

，…（8分）
整理得：a²-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7+4-9

4 7

=

7

14

，…（11分）
則

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=cbcosA=2×

7

×

7

14

=1．…（13分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算法則，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵．