Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關x軸對稱的任意兩點，設P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線x²=4得焦點．設橢圓方程為．由題意可得，再利用及a²=b²+c²即可得出；
（2）由題意可知直線PA的斜率存在，設直線PA的方程為y=k（x+4），與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系．設點A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁）．直線BE的方程為．把y₁，y₂分別用x₁，x₂表示，在代入直線BE的方程即可得出；
（3）當過點M的直線斜率存在時，設直線ST的方程為y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在橢圓C上，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系及判別式，再利用向量的數量積，即可得出其其中范圍．當過點M的直線斜率不存在時，比較簡單．
解答：（1）解：由拋物線x²=4得焦點．
設橢圓方程為．
由題意可得，解得，
∴橢圓的方程為．
（2）證明：由題意可知直線PA的斜率存在，設直線PA的方程為y=k（x+4），
聯立，消去y得到（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0   ①
設點A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁）．
直線BE的方程為．
令y=0，則，
把y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式并整理得．②
由①得，，將其代入②并整理得．
∴直線BE與x軸相交于定點M（-1，0）．
（3）當過點M的直線斜率存在時，設直線ST的方程為y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在橢圓C上，
聯立得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0，
則△=（8m²）²-4（4m²+3）（4m²-12）=144（m²+1）＞0．
∴，，
∴=m²（x₃x₄+x₃+x₄+1）=-．
∴=x₃x₄+y₃y₄==-．
由m²≥0得．
當過點M的直線斜率不存在時，直線ST的方程為x=-1，，，
此時，，
∴•的取值范圍為．
點評：本題綜合考查了橢圓、拋物線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相交問題轉化為一元二次方程得根與系數的關系、直線過定點問題、向量相等及其數量積等基礎知識及基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．