Question

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）利用三角形的周長為及離心率可求解；（Ⅱ）利用尋找的坐標與實數之間的關系，再利用關系找到點R的坐標為（）與之間的關系，化簡求解.
試題解析：（Ⅰ）∵的周長為，
∴即.         （1分）
又解得     （3分）
∴橢圓C的方程為           （4分）
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率必存在，
設其方程為
由
得            （6分）
則             （7分）
由，得
∴∴.             （8分）
設點R的坐標為（），由，
得
∴
解得     （10分）
而

∴                  （13分）
故點R在定直線上.                   （14分）