Question

（本小題滿分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，連結A₁B、A₁P（如圖2）

（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小。

Answer 1

（I）見解析；（II）直線A₁E與面A₁BP所成角為60^o。

本試題主要是考查了折疊圖的運用。求證線面的垂直和線面較大 求解的綜合運用。
（1）由于在圖1中，取BE的中點D，連結DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF為正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。并且在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁－EF－B的一個平面角，那么利用條件可證明。
（2））利用三垂線的逆定理作出線面角。設A₁E在面A₁BP內的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于Q，
則∠EA₁Q就是A₁E與面A₁BP所成的角，然后借助于直角三角形求解。
解：不妨設正三角形的邊長為3，則
（I）在圖1中，取BE的中點D，連結DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF為正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁－EF－B的一個平面角，
由題設條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE。
又BEEF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP。  --------------------------------7分
（II）在圖2中，A₁E⊥面BEP，∴A₁E⊥BP，∴BP垂直于A₁E在面A₁BP內的射影（三垂線定理的逆定理）
設A₁E在面A₁BP內的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于Q，
則∠EA₁Q就是A₁E與面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60^o，∴△EBP為正三角形，∴BE=EP。
又A₁E⊥面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q為BP的中點，且EQ=，而A₁E=1，
∴在Rt△A₁EQ中，，即直線A₁E與面A₁BP所成角為60^o。
----------------------------14分