Question

已知向量

a

，

b

是垂直單位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，對任意實數t₁，t₂，求|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值．（　　）

• A、12
• B、13
• C、14
• D、144

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：利用向量運算得出|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=

c

²+t₁²

a

²+t₂²

b

²-2t₁

a

c

-2t₂

b

c

+2t₁t₂

a

•

b

，配方后求最小值．

解答： 解：∵向量

a

，

b

是垂直單位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=

c

²+t₁²

a

²+t₂²

b

²-2t₁

a

c

-2t₂

b

c

+2t₁t₂

a

•

b

=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂
=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144，
由此可得，當且僅當t₁=3，t₂=4時，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²的最小值為144．
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值為12．
故選：A．

點評：本題考查平面向量的數量積及其運算性質和二次式的最值等知識，屬于中檔題．