Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，其中。
（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，取得極值?
（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍。

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

（1）由已知得，令，得，
要取得極值，方程必須有解，
所以△，即，此時(shí)方程的根為
，，
所以。
當(dāng)時(shí)，

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值；
當(dāng)時(shí)，   

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值。
綜上，當(dāng)滿足時(shí)，取得極值。
（2）要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需使在上恒成立。
即恒成立，所以
設(shè)，，
令得或(舍去)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大,最大值為。
所以
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)最大，最大值為，所以
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。