Question

已知，設
（1）當a=4時，求F（x）的最小值
（2）當1≤x≤4時，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=4代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（2）可設，，F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函數的單調性求最值的方法求出最值即可列出關于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：（1）當a=4時，∴，F（x）_min=15（4分）
（2）（6分）
設，則，令∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函數的單調性知，解得a＞1（12分）
點評：考查學生基本不等式在最值問題中的應用、利用整體代換的數學思想解決數學問題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．