Question

已知函數．
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；（2）設g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入f（x），求出f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1，判斷出根左右兩邊導函數的符號．得到f（x）在（-1，1）上單調遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，求出極值．
（2）判斷出g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上為偶函數，將g（x）x∈[-1，1]，的最大值問題轉化為只求在[0，1]上的最大值即可．通過對a的分類討論，將函數中的絕對值符號去掉，通過導數判斷出函數的單調性，進一步求出函數的最值．
解答：解：（1）當a=1時，f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1．
當x∈（-1，1）時f'（x）＜0，
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時f'（x）＞0．
∴f（x）在（-1，1）上單調遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，
∴f（x）的極小值為f（1）=-2．…（4分）
（2）因g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上為偶函數，
故只求在[0，1]上的最大值即可．
∵，x∈[0，1]，
∴f（x）=，
∴g（x）=|f（x）|=-f（x）．
．
①當a≥1時，g'（x）＞0，g（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=g（1）=-f（1）=3a-1．…（8分）
②當時，g（x）=|f（x）|=-f（x）在[0，]上單調遞增，
在[，1]上單調遞減，故．…（12分）
…（14分）
點評：不同考查函數的最值問題，解題的關鍵是寫出函數的極值和函數在兩個端點處的值，把這些值進行比較，得到最大值和最小值．