Question

下列命題中，真命題個數為（　　）
①直線2x+y-1=0的一個方向向量為

a

=(1，-2)；
②直線x+y-1=0平分圓x²+y²-2y=1；
③曲線

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示橢圓的充要條件為-1＜m＜6；
④如果雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1上一點P到雙曲線右焦點距離為2，則點P到y軸的距離是

2 6

3

．

Answer 1

分析：對于①直線2x+y-1=0的一個方向向量為

a

=(1，-2)；②直線x+y-1=0經過圓x²+y²-2y=1的圓心（0，1）；③曲線

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示橢圓的充要條件為-1＜m＜6且m≠

5

2

，；對于④根據點P到雙曲線右焦點的距離判斷點P在右支上，再根據雙曲線的第二定義知點P到雙曲線右準線的距離和有準線方程，進而得到點P到y軸的距離．

解答：解：①直線2x+y-1=0的一個方向向量為

a

=(1，-2)；正確；
②直線x+y-1=0經過圓x²+y²-2y=1的圓心（0，1）故平分圓x²+y²-2y=1；正確；
③曲線

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示橢圓的充要條件為-1＜m＜6且m≠

5

2

，故錯；
對于④由點P到雙曲線右焦點 (

6

，0)的距離是2知P在雙曲線右支上．
又由雙曲線的第二定義知點P到雙曲線右準線的距離是

2 6

3

，雙曲線的右準線方程是 x=

2 6

3

，
故點P到y軸的距離是

4 6

3

；錯．
故選B．

點評：本題主要考查了方向向量、橢圓的方程、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．