Question

已知函數f（x）=axlnx，g(x)=-

1

2

x2+(a+1)x，其中a∈R．
（1）令h(x)=

f(x)

x

-g(x)，試討論函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，試求實數a的取值范圍．（其中e是自然對數的底數）

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則求出h^′（x），通過分類討論a即可得出其單調性；
（2）由已知對任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+

1

2

x2-(a+1)x，可得y=F（x）在區間（e，e²）上為增函數．于是F'（x）=alnx+x-1≥0，對x∈（e，e²）恒成立，通過分離參數，利用導數求出最值即可．

解答：解：（1）∵h(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x，（x＞0）．
∴h′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

．
①當a≤0時，f（x）的遞減區間為（0，1），遞增區間為（1，+∞）；
②當0＜a＜1時，f（x）的遞增區間為（0，a），（1，+∞），遞減區間為（a，1）；
③當a=1時，f（x）的遞增區間為（0，+∞）；
④當a＞1時，f（x）的遞增區間為（0，1），（a，+∞），遞減區間為（1，a）．
（2）對任意的e＜x1＜x2＜e2，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）
令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+

1

2

x2-(a+1)x，
由題意得y=F（x）在區間（e，e²）上為增函數．
∴F'（x）=alnx+x-1≥0，對x∈（e，e²）恒成立，
所以a≥

1-x

lnx

對x∈（e，e²）恒成立，
令?(x)=

1-x

lnx

，
則?′(x)=

-lnx- 1-x x

(lnx)2

=

-xlnx+x-1

x(lnx)2

=

x(1-lnx)-1

x(lnx)2

＜0，
所以?（x）在區間（e，e²）上單調遞減，
所以?（x）＜?（e）=1-e，
所以a≥1-e． 
所以a≥1-e． …（10分）

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、恒成立問題轉化為求最值問題等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、分析問題和解決問題的能力、推理能力與計算能力．