Question

求經(jīng)過(guò)A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上的圓的方程．
（I）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求出（I）中的圓與直線3x+4y=0相交的弦長(zhǎng)AB．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出圓心C的坐標(biāo)為（a，-2a），利用圓經(jīng)過(guò)A（2，-1），和直線x+y=1相切，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（II）求出圓心C到直線3x+4y=0的距離d，再由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為2

r2-d2

，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）因?yàn)閳A心C在直線y=-2x上，可設(shè)圓心為C（a，-2a）．
則點(diǎn)C到直線x+y=1的距離d′=

|a-2a-1|

2

=

|a+1|

2

據(jù)題意，d′=|AC|，則

|a+1|

2

=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-2a+1=0
∴a=1．
∴圓心為C（1，-2），半徑r=d=2，
∴所求圓的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2 
 （II） 圓心（1，-2）到直線3x+4y=0的距離d=

|3-8|

5

=1，半徑r=

2

，
故弦長(zhǎng)為|AB|=2

r2-d2

=2，

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，考查點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式，充分運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．