Question

分別以雙曲線的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P的坐標為（0，3），在y軸上是否存在定點M，過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的焦點為（±5，0），頂點為（±4，0），
所以所求橢圓方程為
（Ⅱ）假設存在M（0，a），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，
使以AB為直徑的圓恒過點P，AB方程為y=kx+a，
代入方程，消去y，得
（9+25k²）x²+50akx+25a²﹣225=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂﹣3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）﹣3k（x₁+x₂）﹣6a+9
=（k²+1）x₁x₂+k（a﹣3）（ x₁+x₂）+a²﹣6a+9
=（k²+1）+k（a﹣3）+a²﹣6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點P，可得，
得17a²﹣27a﹣72=0，
∴（17a+24）（a﹣3）=0
∴a=3，或a=
∵點P的坐標為（0，3），過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點
∴a=
故M點的坐標存在，M的坐標為（0，）