Question

（1）已知數(shù)列{a_n}的第1項 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

（ n=1，2，3…）使用歸納法歸納出這個數(shù)列的通項公式．（不需證明）
（2）用分析法證明：若a＞0，則

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：（1）由 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

 可求得數(shù)列的前若干項，根據每項的結構特征猜想通項公式．
（2）只需證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，只需證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需證

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），即證 a²+

1

a2

≥2，而它顯然是成立．

解答：解：（1）由 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

 可得，a₂=

a1

1+a1

=

1

2

，a₃=

a2

1+a2

=

1

3

，猜想 an = 

1

n

．
（2）證明：要證

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只需證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需證a²+

1

a2

+4+4

a2+ 1 a2

≥a²+

1

a2

+2+2

2

（a+

1

a

），
只需證

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），只需證a²+

1

a2

≥

1

2

（a²+

1

a2

+2），
即證a²+

1

a2

≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立．

點評：本題考查歸納推理，以及用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關鍵．