Question

設定義在R上的奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．當x=-1時，f（x）取得極大值．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）判斷函數y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切
點的橫坐標在區間[-，]上，并說明理由；
（3）設x_n=1-2^-n，y_m=（3^-m-1）（m，n∈N*），求證：|f（x_n）-f（y_m）|＜．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是利用導數求閉區間上的最值問題．在解答時，
對（1）充分利用所給性質：奇偶性、極值，即可找方程解參數；
對（2）是存在性問題，先假設存在兩點滿足題意，由切線垂直即可獲得：f′（x₁）•f′（x₂）=-1．即可問題的解答；
對（3）應先將問題轉化為函數在閉區間上的最值求解問題，要充分利用好x_n、y_m的范圍．
解答：解：（1）因為函數f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數，
所以f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，則b=d=0．
所以f（x）=ax³+cx．
因為當x=-1時，f（x）取得極大值，f′（x）=3ax²+c，
所以解得所以f（x）=x³-x．

（2）存在滿足題意的兩點．
由（1），得f′（x）=x²-1．假設存在兩切點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[-，]．
則f′（x₁）•f′（x₂）=-1．所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．
因為（x₁²-1），（x₂²-1）∈[-1，1]，所以或
解得或所以兩切點的坐標分別為（0，0），（，-）或（0，0），（-，）．

（3）因為當x∈[，1）時，f′（x）＜0，所以f（x）在[，1）上遞減．
由已知，得x_n∈[，1），所以f（x_n）∈（f（1），f（）]，即f（x_n）∈（-，-]．
又x＜-1時，f′（x）＞0；-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1）上遞增，f（x）在（-1，1）上遞減．
因為y_m=（3^-m-1），所以y_m∈（-，-]．
因為-＜-1＜-，且f（-）=-=＜f（-）=，
所以f（y_m）∈（f（-），f（-1）]，即f（y_m）∈（，]．
所以|f（x_n）-f（y_m）|=f（y_m）-f（x_n）＜-（-）=．
點評：本題考查的是利用導數求閉區間上的最值問題．在解答的過程當中充分體現了方程的思想、恒成立的思想和問題轉化的思想．同時存在性問題的解答思路也在題目中獲得了很好的展現．值得同學們體會和反思．