Question

已知函數f(x)=

2

x-1

．
（1）用函數的單調性的定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數．
（2）求函數f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，依據減函數的定義，利用作差證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）由（1）知函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，進而得到f（x）在[2，6]上的單調性，由單調性即可求得其最值；

解答：（1）證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由1≤x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以，

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）在（1，+∞）上是減函數．               
（2）解：由（1）得f（x）在（1，+∞）上是減函數，
所以，f（x）在[2，6]上是減函數．
所以，當x=2時，f（x）取得最大值，最大值是2；
當x=6時，f（x）取得最小值，最小值是

2

5

．

點評：本題考查函數單調性的判定及應用，考查函數最值的求解，當自變量增大時函數值增大，則為增函數；當自變量增大時函數值減小，則為減函數．