Question

【題目】已知數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足 ，若n∈N*時，anbn+1﹣bn+1=nbn ．
（Ⅰ）求{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=anbn ， 求{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵數列{bn}滿足 ，anbn+1﹣bn+1=nbn ． ∴n=1時，可得a1b2﹣b2=b1 ， 即 ﹣ =1，解得a1=3．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
∴[（2n+1）﹣1]bn+1=nbn ， 可得bn+1= bn ，
∴數列{bn}是等比數列，公比為 ．
∴bn= ．
（II）cn=anbn=（2n+1）× ．
∴{cn}的前n項和Sn= +7× +…+（2n+1）× ．
∴ = +…+（2n﹣1）× +（2n+1）× ，
∴ =3+ ﹣（2n+1）× =1+ ﹣（2n+1）× ，
∴Tn=10﹣
【解析】（I）由數列{bn}滿足 ，anbn+1﹣bn+1=nbn ． n=1時，可得a1b2﹣b2=b1 ， 即 ﹣ =1，解得a1 ． 可得an=2n+1．代入anbn+1﹣bn+1=nbn ． 利用等比數列的通項公式即可得出．（II）cn=anbn=（2n+1）× ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．