Question

【題目】已知函數.

(1)若函數有且只有一個零點，求實數的值；

(2)證明：當時， .

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析．

【解析】試題分析：

(1)討論函數的單調性可得滿足題意時，解得.

(2)結合(1)的結論不妨設，結合函數的性質即可證得題中的不等式.

試題解析：

(1)方法1： ， ，

時， ； 時， ； 時， ；

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，∵有且只有一個零點，

故，∴.

方法2：由題意知方程僅有一實根，

由得 ()，

令， ，

時， ； 時， ； 時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

所以要使僅有一個零點，則.

方法3：函數有且只有一個零點即為直線與曲線相切，設切點為，

由得，∴，∴，

所以實數的值為1.

(2)由(1)知，即當且僅當時取等號，

∵，令得， ，

，

即.