Question

【題目】已知橢圓C：（）．若，，，四點中有且僅有三點在橢面C上．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設O為坐標原點，F為橢圓C的右焦點，過點F的直線l分別與橢圓C交于M，N兩點，，求證：直線，關于x軸對稱．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據，兩點關于原點對稱，得到B，P均在橢圓上，再由點與點不關于x軸對稱，得到在橢圓上求解.

（2）當直線l為x軸時，顯然直線，關于x軸對稱，當直線l不與x軸重合時，設l：，，，由聯立，將韋達定理代入求解.

（1）因為，兩點關于原點對稱，

故B，P均在橢圓上，

而點與點不關于x軸對稱，

故Q不在橢圓上，

因此，

且，

解得．

故橢圓C的標準方程為

（2）由（1）知，則，

當直線l為x軸時，顯然直線，關于x軸對稱；

當直線l不與x軸重合時，設l：，，，

由消去x整理得．

所以，．

因為

，

則，

即，

故直線，關于x軸對稱

綜上可知，直線，關于x軸對稱．