Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：SD⊥平面SAB
（2）求AB與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2．

連結SE，則

又SD=1，故ED2=SE2+SD2

所以∠DSE為直角，

所以SD⊥SE，

由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．

因為AB∩SE=E，

所以SD⊥平面SAB

（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．

作SF⊥DE，垂足為F，則SF⊥平面ABCD，

作FG⊥BC，垂足為G，則FG=DC=1．

連結SG，則SG⊥BC

又FG⊥BC，SG∩FG=G，

故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，

作FH⊥SG，H為垂足，則FH⊥平面SBC，

即F到平面SBC的距離為 ．

由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距離d也為 ．

設AB與平面SBC所成的角為α，則 ．

【解析】（1）取AB中點E，連結DE，證明SD⊥平面SAB，只需證明SD⊥SE，AB⊥SD；（2）求出F到平面SBC的距離，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距離，從而可求AB與平面SBC所成角的正弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．