Question

已知F1,F2分別是橢圓E:+y2=1的左、右焦點,F1,F2關于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.

(1)求圓C的方程;

(2)設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當ab最大時,求直線l的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）(x-2)2+(y-2)2=4 （2）x-y-2=0或x+y-2=0

【解析】

解:(1)由題設知,F1,F2的坐標分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點O關于直線x+y-2=0的對稱點.

設圓心的坐標為(x0,y0),

由解得

所以圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4.

(2)由題意,可設直線l的方程為x=my+2,

則圓心到直線l的距離d=.

所以b=2=.

由得(m2+5)y2+4my-1=0.

設l與E的兩個交點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

則y1+y2=-,y1y2=-.

于是a==

=

==.

從而ab==

=≤

=2.

當且僅當=,即m=±時等號成立.

故當m=±時,ab最大,此時,直線l的方程為x=y+2或x=-y+2,

即x-y-2=0或x+y-2=0.