Question

某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地，市規劃部門計劃利用它建設一個供市民休閑健身的小型綠化廣場，如下圖所示是步行小道設計方案示意圖，其中，Ox，Oy分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道．設計方案是自主干道交匯點O處修一條步行小道，小道為拋物線y=x²的一段，在小道上依次以點為圓心，修一系列圓型小道，這些圓型小道與主干道Ox相切，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若x₁=1（單位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）記以P_n為圓心的圓與主干道Ox切于A_n點，證明：數列是等差數列，并求|OA_n|關于n的表達式；
（2）記⊙P_n的面積為S_n，根據以往施工經驗可知，面積為S的圓型小道的施工工時為（單位：周）．試問5周時間內能否完成前n個圓型小道的修建？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可設⊙p_n的半徑，由題意可得|p_np_n+1|=r_n+r_n+1，代入點的坐標整理可得，結合等差數列的通項公式可求，進而可求x_n，即可求解
（2）由==，代入T_n==，利用放縮法及裂項即可求解和，可求
解答：解：（1）依題意可設⊙p_n的半徑
∵⊙p_n與⊙p_n+1相切
∴|p_np_n+1|=r_n+r_n+1
∴=y_n+y_n+1
兩邊平方整理可得，
∵x_n＞x_n+1＞0
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1
∴
∴{}是以1為首項，以2為公差的等差數列
∴=2n-1
∴即
（2）∵==
設前幾個圓型小道的施工總時為T_n=
=
＜
=

==＜5
故5周內完成修建工作
點評：本題主要考查了圓外切性質的應用，利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項公式，數列的裂項求和及放縮法在不等式中的應用