Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，點M∈AB₁，N∈BC₁，且AM=BN≠

2

，有以下四個結論：
①AA₁⊥MN，②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁是異面直線．其中正確結論的序號是______（注：把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

過M作MO∥AB，交BB₁于O，連接ON，
∵AM=BN
∴

AM

MB1

=

BO

OB1

=

BN

NC1

，∴ON∥B₁C₁，
∴BB₁⊥OM，BB₁⊥ON，OM∩ON=O，
∴BB₁⊥平面OMN，MN?平面OMN，
∴BB₁⊥MN，AA₁∥BB₁，∴AA₁⊥MN，∴①正確；
當M、N分別是AB₁，BC₁的中點時，取A₁B₁，B₁C₁的中點E，F，連接ME、NF，
∵ME∥AA₁，NF∥AA₁，且ME=NF=

1

2

AA₁，
∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴MN∥EF，
又EF∥A₁C₁，∴MN∥A₁C₁，
當M不是AB₁的中點時，MN與A₁C₁異面，∴②④錯誤；
OM∥平面A₁B₁C₁D₁；ON∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，MN?平面OMN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁；∴③正確．
故答案是①③．