Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣x， ．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然對數的底數，求實數b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以 ，

由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，

所以函數h（x）的單調增區間是（0，e]，單調減區間是[e，+∞），

所以當x=e時，h（x）取得最大值 ；

（2）因為xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，

亦即 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

設 ，因為 ，

故（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，（x）min=（3）=7+ln3，

所以a≤7+ln3．

（3）因為方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即 恰有一解，

由（1）知，h（x）在x=e時， ，

而函數k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上單調遞減，在[e，+∞）上單調遞增，

故x=e時，k（x）min=b+1﹣e2，

故方程 =x2﹣2ex+b+1恰有一解當且僅當b+1﹣e2= ，

即b=e2+ ﹣1；

【解析】1、由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，所以函數h（x）的單調增區間是（0，e]，單調減區間是[e，+∞）所以當x=e時，h（x）取得最大值 .
2、因為xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即 a ≤ l n x + x + 對一切x∈（0，+∞）恒成立.設 ( x ) = l n x + x + ,求導可得，（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，（x）min=（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的零點是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點．