Question

已知函數f（x）的定義域是（-1，1），對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數g(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足上述這些條件；
（Ⅱ）你發現這樣的函數f（x）還具有其它什么樣的主要性質？試就函數的奇偶性、單調性的結論寫出來，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）根據函數g（x）的解析式結合對數的運算性質，分別對g（x）+g（y）與g(

x+y

1+xy

)進行化簡，可得g（x）+g（y）=g(

x+y

1+xy

)成立．再由當x＜0時g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立，即可得到函數g(x)=ln

1-x

1+x

滿足題意所述條件；
（II）利用賦值法先求出f（0）=0，再證出f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得出函數f（x）在（-1，1）上是奇函數；再根據函數對應法則證出f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，進而得到x＜y時有f（x）＞f（y），因此函數f（x）在（-1，1）上是減函數．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

1-x

1+x

＞0，解之得-1＜x＜1，得函數的定義域為（-1，1）；…（2分）
∵g(x)+g(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

g(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

∴g(x)+g(y)=g(

x+y

1+xy

)成立，…（4分）
又∵當x＜0時，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1，可得g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立
綜上所述，可得函數g(x)=ln

1-x

1+x

滿足題意所述條件．…（6分）
（II）發現函數f（x）是區間（-1，1）上的奇函數，且是減函數．
證明如下
①將x=0代入條件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函數f（x）在（-1，1）上是奇函數．　…（9分）
②以-y代替y，代入條件得f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
結合函數為奇函數得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
當-1＜x＜y＜1時

x-y

1-xy

＜0，結合已知條件得f(

x-y

1-xy

)＞0
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函數f（x）在（-1，1）上是減函數．…（12分）

點評：本題給出抽象函數，驗證函數的特殊性質并討論了函數的單調性與奇偶性．著重考查了對弈的運算法則、函數的單調性與奇偶性等知識，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數問題具體化，是解決這類問題的關鍵所在．