Question

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點.問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）T（0，1）

【解析】（Ⅰ）由

  因直線相切，，∴，

…… 2分

  ∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角

    形，∴                                    ……  4分

    故所求橢圓方程為                             …… 5分

  （Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

    當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：  

    由

    即兩圓公共點（0，1）

    因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）                 …… 8分

    （ⅰ）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

    （ⅱ）若直線L斜率存在時，可設直線L：

    由

    記點、            …… 10分

   

     

               

    ∴TA⊥TB,

綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）.             …… 12分