Question

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點S(0，-

1

3

)的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把拋物線和直線方程聯立消去y，根據△=0求出b，再根據兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形得出a和b的關系式，求得a．
（2）分別求出L與x軸平行時和L與x軸垂直時的圓的方程，聯立可求得兩圓的切點，進而推斷所求的點T如果存在只能是（0，1）．當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）；當直線L不垂直于x軸設直線L的方程y=kx-

1

3

與橢圓方程聯立求得

TA

•

TB

=0證明出TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．

解答：解：（1）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0
因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角
形，∴a=

2

b=

2

故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1.
（2）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即兩圓相切于點（0，1）
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）
事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下．
當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設直線L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
記點A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因為

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）
所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．

點評：本題主要考查直線與橢圓的綜合問題．常需要把直線與曲線的方程聯立，利用韋達定理找到解決問題的突破口．