Question

已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0＜α＜x＜π.
(1)若α＝，求函數f(x)＝b·c的最小值及相應x的值；
(2)若a與b的夾角為，且a⊥c，求tan 2α的值．

Answer 1

（1）最小值為－，相應x的值為（2）－

(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋ (sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，則2sin xcos x＝t²－1，且－1＜t＜.
則y＝t²＋t－1＝²－，－1＜t＜，
∴t＝－時，y_min＝－，此時sin x＋cos x＝－，即sin＝－，
∵＜x＜π，∴＜x＋＜π，∴x＋＝，∴x＝.
∴函數f(x)的最小值為－，相應x的值為.
(2)∵a與b的夾角為，∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.
∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0，
∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.