Question

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.
（1）求函數的解析式和值域；
（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，
求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價于恒成立，…1分
從而得：，化簡得，從而得，
所以，………3分
其值域為.…………………4分
（2）解：當時，數列在這個區間上是遞增數列，證明如下：
設，則，
所以對一切，均有；………………7分


從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列…10分
注：本題的區間也可以是、、等無窮多個.
另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則
即…7分
又當時，，
∴對一切，均有且，
∴數列在區間上是遞增數列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，從而；
，
即； ………12分
令，則有且；
從而有，可得，
∴數列是以為首項，公比為的等比數列，………14分
從而得，即，
∴ ，
∴，∴， …16分
∴，
.   ………………………18分
（3）（理科）由（2）知，從而；
，
即；………12分
令，則有且；
從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，…………………14分
從而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.………………………16分
即，所以，恒成立
（1）當n為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。
（2）當n為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。
所以，對任意，有。又非零整數，…………18分

略