Question

已知函數（a為實常數）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數g（x）=f（x）-2x的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，2）上無極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數定義域，當a=1時求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函數f（x）在區間（0，2）上無極值，則f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=1時，f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=0，得f（x）=≤0，即ln，令x=適當變形即可證明．
解答：解：（I）當a=1時，，其定義域為（0，+∞），g′（x）=-2+=，，
令g′（x）＞0，并結合定義域知； 令g′（x）＜0，并結合定義域知；
故g（x）的單調增區間為（0，）；單調減區間為．
（II），
（1）當f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立時，a≤0，此時f（x）在（0，2）上單調遞減，無極值；
（2）當f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立時，a≥2，此時f（x）在（0，2）上單調遞增，無極值．
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=1時，f′（x）=，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴f（x）=在x=1處取得最大值0．
即f（x）=1-，
∴，令x=（0＜x＜1），則，即ln（n+1）-lnn，
∴ln=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜．
故．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數最值問題，考查了運用知識解決問題的能力．