Question

已知函數（a為實常數）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數ϕ（x）=f（x）-g（x）在定義域上的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=g（x）在區間上有解，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若數列{a_n}的通項公式為，它的前n項和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）我們易求出當a=1時，函數φ（x）的解析式及其導函數的解析式，利用導數法，判斷出函數的單調性，從而求得最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x）在區間[，1]上有解，可轉化為方程a=x-x³在區間[，1]上有解，構造函數h（x）利用導數法求出函數的值域，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅲ）利用放縮法及裂項法，我們可以求出a_k＞+（），在進行求和，從而進行證明；
解答：解：（Ⅰ）a=1，代入g（x），定義域{x|x＞0}
可得ϕ（x）=f（x）-g（x）=lnx+-1，（x＞0），
ϕ′（x）=，
當x≥1時，f（x）≥0，f（x）為增函數；
當x＜1時，f（x）＜0，f（x）為減函數；
ϕ（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，
ϕ（x）_min=ϕ（1）=0；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x），可得e^2lnx=1-，
可得a=x-x³求h（x）=x-x³，在區間上求最值問題，
h′（x）=1-3x²，令h′（x）=0，可得x=，
當x＞時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；
當0＜x＜時，h′（x）＞0，h（x）為增函數；
f（x）極大值=f（x）最大值=f（）=，
f（1）=0，f（）=，
∵方程e^2f（x）=g（x）在區間上有解，
∴0≤h（x）≤
∴0≤a≤；
（Ⅲ）數列{a_n}的通項公式為，
可得a_n=ln，
∵由（1）可知，ϕ（x）_min=ϕ（1）＞0，即lnx＞1-，
a_k＞1-=+•＞+•=+（），
S_n=＞n+（+…+-）=n+=，
即證；
點評：本題考查的知識點是導數在最大值，最小值問題中的應用，導數在證明函數單調性時的應用，函數恒成立問題，不等式與函數的綜合應用，其中第一問的關鍵是利用導數法；第二問的關鍵是利用導數法，求出函數的最值，進而得到函數的值域，而第三問的關鍵是利用不等式證明的放縮法；