Question

如圖，已知雙曲線C₁:，曲線C₂:.P是平面內一點.若存在過點P的直線與C₁、C₂都有共同點，則稱P為“C₁-C₂型點”.

（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證＞1，進而證明圓點不是“C₁-C₂型點”；

（3）求證：圓內的點都不是“C₁-C₂型點”.

Answer 1

【答案】 （1）

【解析】 （1）    顯然，由雙曲線的幾何圖像性質可知，過.從曲線圖像上取點P(0,1),則直線。這時直線方程為

  

（2） 先證明“若直線y=kx與有公共點，則＞1”.

雙曲線

.

.

所以直線y=kx與有公共點，則＞1 . （證畢）

。

所以原點不是“C₁-C₂型點”；（完）

（3）設直線過圓內一點，則直線斜率不存在時與曲線無交點。

設直線方程為：y = kx + m，則：

假設直線與曲線相交上方，則