Question

若鈍角三角形三內角的度數成等差數列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的范圍是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（3，+∞）

Answer 1

分析：設三個角分別為

π

3

-A，

π

3

，

π

3

+A，由正弦定理可得m=

c

a

=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

，利用兩角和差的正弦公式化為

3 +tanA

3 -tanA

，利用單調性求出它的值域．

解答：解：鈍角三角形三內角A、B、C的度數成等差數列，則B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
可設三個角分別為

π

3

-A，

π

3

，

π

3

+A．
故m=

c

a

=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

=

3 2 cosA+ 1 2 sinA

3 2 cosA -  1 2 sinA

=

3 +tanA

3 -tanA

．
又

π

6

＜A＜

π

3

，∴

3

3

＜tanA＜

3

．令 t=tanA，且

3

3

＜t＜

3

，
則 m=

3 +t

3 -t

 在[

3

3

，

3

]上是增函數，∴+∞＞m＞2，
故選B．

點評：本題考查正弦定理、兩角和差的正弦公式，利用單調性求函數的值域，得到m=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

，是解題的關鍵和難點．